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二、分数求和的一些技巧(一)


   作者:蓝忠诚 发表时间-10 :30:17  阅读( 15 )| 评论( 0 )

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二、分数求和的一些技巧(一)



例1 计算:

  

分析与解 此题如按异分母加法法则来求和,计算量太大,下面用裂项法试一试.



  

  

  上面这998个等式左边的分数,其分母分别与题目中各加数的分母一样,





 





例2 计算:



分析与解 题中的每一项的分子都是1,分母不是连续相邻两个自然数之积,而是连续三个自然数的乘积.下面我们试着从前几项开始拆分,探讨解这类问题的一般方法.因为

 

 

        

 

  这里n是任意一个自然数.

  利用这一等式,采用裂项法便能较快地求出例2的结果.

 

 

 

例3 计算:



分析与解 仿上面例1、例2的解题思路,我们也先通过几个简单的特例试图找出其规律,再用裂项法求解.

 

    

  这几个分数的分子都是2,分母是两个自然数的积,其中较小的那个自然数正好等于分母中自然数的个数,另一个自然数比这个自然数大3.把这个想法推广到一般就得到下面的等式:

 



  连续使用上面两个等式,便可求出结果来.

  

  

  因为第一个小括号内所有分数的分子都是1,分母依次为2,3,4,…,199,所以共有198个分数.第二个小括号内所有分数的分子也都是1,分母依次为5,6,7,…,202,所以也一共有198个分数.这样分母分别为5,6,7,…,199的分数正好抵消,

 

 



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