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三、分数大小的比较


   作者:蓝忠诚 发表时间-13 :40:32  阅读( 22 )| 评论( 0 )

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三、分数大小的比较

  比较两个分数的大小,小学数学课本中介绍了三种方法.第一种是如果两个分数分母相同,分子大的分数较大;第二种是如果两个分数分子相同,分母小的分数较大;第三种是假分数大于真分数.下面我们利用这些方法及其变式来讨论一些分数比较大小的问题.

  

分析与解 要想把这五个分母变成相同的数比较麻烦.再看它们的分子,这五个数虽然也不相同,但要把它们变成相同的数比变分母方便一些,这是因为30正好是5、6、15、10这四个数的倍数.利用分数的基本性质,可以将上面五个分数变为分子都是30的分数:

  

  这五个分数的分子都是30,而分母从小到大的顺序是37、92、95、99、102.根据本节一开始提到的比较分数大小的第二种方法,便有

  

  

分析与解 这两个分数的分子和分母都不相同,无论是把分子还是分母化成相同的数,都不方便,虽然它们都是真分数,但也不能直接采用本讲开始介绍的三种比较分数大小的方法,找出谁大谁小来.下面我们改用别的方法来比较这两个分数的大小.



  此题还可以这样想,先把两个分数同时扩大若干倍,再由积的大小判断原分数的大小.



  此题还可以利用真假分数的定义来解,因为



  而 444443×555556=444443×(555554+2)

  =444443×555554+444443×2

   444445×555554=(444443+2)×555554

  =444443×555554+555554×2

  444443×2<555554×2,所以444443×555556<444445×555554.



  细心的同学一定能看出:444443×555556与444445×555554,正好都是一个分数的分母与另一个分数分子的乘积,并且如果含有哪个分子的积大,那么这个分子所在的分数也大.



  不管采用什么方法,结果均相同,即



  由例1和例2我们可以得知,除了小学数学课本上介绍的三种比较分数大小的方法外,还有一些别的方法.一是化整比较,即把两个分数同时扩大相同的若干倍,使其中一个分数变为整数,然后通过积的比较判断分数的大小.二是相除比较,当商是一个真分数时,分子小于分母;当商是一个大于1的

种方法比较分数大小时,可以采用设法把分数的分子或分母变成相同的分数后再用前面的三种方法比较,还可以把分数与某个数相比较,再利用差的大小判断分数的大小.

例3 比较下列各组中两个分数的大小:

 

 

分析与解 先看(1)式:

  因为1234567890-1990=1234565900,2345678901-1990=2345676911.即



  上面两个分数的分子相同,而分母2345678901>2345676911.所以



  这种方法虽然可以判断两个分数的大小,但用于(3)式计算麻烦.看看

  因为 a×(b-k)=a×b-a×k,

  b×(a-k)=a×b-b×k.

  上述两式等号后面的被减数相同,都是a×b,那么差的大小由减数的大小来定.两个减数分别为a×k和b×k,当a>b时,a×b-b×k>a

  

  这就告诉我们,如果一个分数是真分数,那么这个分数的分子与分母同时减去某个比分子小的数,所得的新分数小于原来的真分数.上面有关(1)式的判断也正好说明了这一点.反过来,如果一个分数是假分数,那么这个分数的分子与分母同时减去某个比分母小的数,所得的新分数大于原来的分数.用字母表示如下:

  

  因为 a×(b+k)=a×b+a×k,

  b×(a+k)=a×b+b×k.

  上面两个式子等号后面的两个加数中,有一个相同,都是a×b,这一来和的大小由另一个加数来定.

  当a>b,a×k>b×k,所以有:

  a×b+a×k>a×b+b×k,那么便有



  当a<b时,a×k<b×k,所以有:

  a×b+a×k<a×b+b×k,那么便有



  这么一来,这类分数比较大小的问题,就转化为判断一分数是真分数还是假分数的问题.现在用这些结论来讨论(1)、(2)、(3)、(4)中两分数的大小.

  (1)因为1234567890<2345678901,所以有



  (2)因为1234567890<2345678901,所以有



  (3)因为1011121314151617181920<2122232425262728293031,所以有

   

  (4)因为7778798081828384858687<6768697071727374757677,所以有

   

  例3告诉我们,从一般形式得出结论,然后用结论解个别问题,一定可以收到事半功倍的效果。


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