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四、分数与小数的互化


   作者:蓝忠诚 发表时间-14 :56:1  阅读( 13 )| 评论( 0 )

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四、分数与小数的互化

  学完循环小数以后,有同学会产生以下问题:0.9和1谁大谁小?为解决这个问题就要研究分数与小数的互化问题.

  

  所以一个分数只要能变成十进分数就能化成有限小数.那么什么样的分数能化成十进分数呢?就是分母分解质因数后只含有2、5这样质因数的最简分数.即一个最简分数,如果分母除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数一定能化成有限小数,而且有限小数中小数部分的位数等于分母中质因数2、5个数中最大的那个数.那么什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数?它的不循环部分的位数与循环节的最少位数与分母又有什么关系呢?下面就来研究这一问题.





  上面五个分数都是最简分数,分母里没有2、5这样的质因数,它们都能化成纯循环小数.







才能被分母27整除.

  综上所述,我们可以得到结论:一个最简分数的分母里,如果只含有2、5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数,这个纯循环小数循环节的最少位数,等于9、99、999、…诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数.



分析与解 与例1一样,分子除以分母便有:

 

 

  正好分母里只有1个2,至少由1个9组成的一位数9正好被分母中2、5以外的质因数3整除.



    

位数是1位,正好分母里2、5中较大的一个是2,至少由1个9组成的一位数9正好被分母中2、5以外的质因数3整除.



位数是3位,正好分母里只有1个2,至少由三个9组成的三位数999正好被分母中2、5以外质因数的乘积111整除.



少位数是6位,正好分母中2的个数是3,至少由六个9组成的六位数999999正好被分母中2、5以外的质因数7整除.

  综上所述,我们可得结论:一个最简分数的分母里,如果既含有2、5这样的质因数,又含有2、5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循环小数,它的不循环部分里的数字的个数,等于分母中2、5中较多的一个数的个数.循环节的最少位数等于9、99、999、…诸数中能被分母中2、5以外质因数(或质因数的乘积)整除的最小那个数里9的个数.

例3 不作除法,指出下面的分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?化成有限小数时,小数部分有几位?化成循环小数时,不循环部分数字的个数与循环节里最少位数各是几?

  

分析与解 只要将上述各分数的分母分别分解质因数,按上面已有的各个结论便可以知道结果分别是什么.

  

环小数,不循环部分的数字有3位,循环节最少位数是1位.

  

化成混循环小数,不循环部分的数字是3位,循环节最少位数是1位.



例4 写出一个最大的分数,它的分子是1,并且它所化成的小数是:

  (1)循环节里最少的位数是4的纯循环小数;

  (2)不循环部分有两个数字,循环节里最少的位数是3的混循环小数.

分析与解 一个分数由分子分母构成,要求的分数的分子是1,故关键是分母,写的是最大的分数,所以分母必须最小.为保证这样的分数化成小数是纯循环小数且循环节最少位数是4,分母一定是2、5以外能整除9999的质因数或质因数的乘积.9999=9×1111=9×11×101,但9能整除9,11能整除99,所以为使条件满足,分母只能取101.

  另外为保证这样的分数化成小数时是混循环小数,且不循环部分有两个数字,循环节里最少的位数是3,分母一定是2n×5m×P的形式(这里P是2、5以外的质因数或它们的乘积).为使分数最大,可让n=2,m=0,再找P.与上面的分析一样,因为999=27×37,所以P=27.这样分母为22×27=108.有了分子与分母,分数便能写出来.

  (1)因为分子为1,且9999=9×11×101,为保证分数是化成小数后循环节最少位数是4的纯循环小数的所有分数中最大的,所以分母取101,

  (2)因为999=27×37,为保证分数化分小数后,不循环部分有两个

  下面研究循环小数如何化成分数.



分析与解

  

  将(1)和(2)的两边分别相减,得:

  

  

  

  

  从这个例子可以看出:一个纯循环小数的小数部分可以化成这样的分数:这个分数的分子是一个循环节所表示的数,分母的各位数字全是9,9的个数等于一个循环节中数字的个数.

  一个混循环小数的小数部分可以化成这样的分数:这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数,与小数部分中不循环部分的数字所组成的两数之差.分母的头几位数字全是9,9后面的数字全是0,9的个数和一个循环节中的数字个数相等,0的个数等于不循环部分数字的个数.

  


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