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五、奇数与偶数


   作者:蓝忠诚 发表时间-10 :4:36  阅读( 23 )| 评论( 0 )

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五、奇数与偶数

  小学数学课本第十册“数的整除”这部分教材中指出,凡是能被2整除的数叫偶数.大于零的偶数,又叫双数.凡是不能被2整除的数叫奇数,大于零的奇数又叫单数.因为偶数是2的倍数,所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数).因为任何奇数除以2其余数总是1,所以通常用式子2k+1来表示奇数(这里k是整数).

  奇数和偶数有许多性质,常用的有:

性质1 两个偶数的和或差仍是偶数.

  例如 8+4=12,8-4=4等.

  两个奇数的和或差也是偶数.

  例如 9+3=12,9-3=6等.

  奇数与偶数的和或差是奇数.

  例如 9+4=13,9-4=5等.

  单数个奇数的和是奇数,双数个奇数的和是偶数,几个偶数的和仍是偶数.

性质2 奇数与奇数的积是奇数.

  例如 9×11=99等.

  偶数与整数的积是偶数.

  例如 2×5=10,2×8=16等.

性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.

  下面用这些性质来解几道题.

1 有九只杯口向上的杯子放在桌上,每次将其中四只杯同时“翻转”,使其杯口向下.问能不能经过这样有限多次的“翻转”后,使九只杯口全部向下?为什么?

分析与解对每只杯口向上(下)的杯子,只有“翻转”1次、3次、……后才能使杯口向下(上).即对每只杯子,只有“翻转”单数次后,其杯口的朝向才能改变.现在要求九只杯口向上的杯子杯口全部朝下,那么每只杯子必须经过奇数次“翻转”,根据前面性质1中指出的:单数个奇数的和是奇数可知,这九个奇数的和一定是个奇数.即只有经过奇数次“翻转”,才能使九只杯口向上的杯子的杯口变为全部朝下.

  另外每次只能同时“翻转”四只杯子.这就是说,不管如何“翻转”,最后“翻转”的总次数一定是4的倍数.4是偶数,所以“翻转”的总次数是个偶数.前面要求“翻转”总次数必须是奇数,这里又说它一定是个偶数,前后矛盾,所以按要求无论怎样“翻转”,都不能使九只杯口全部向下.

2 能否在下式的各□内填入加号或减号,使下式成立,为什么?

  9□8□7□6□5□4□3□2□1=10

分析与解因为每个□内都可以填入加号或减号,一共有8个□,所以共(28=)256种填法,故不能采用试验的方法解这道题.

  我们还是从简单情况开始.

  因为9是奇数,8是偶数,所以根据前面提到的性质,9□8当□内不管填“+”或“-”,9□8一定是奇数.因为9□8是奇数,7也是奇数,所以9□8□7中7前面那个□内不管填“+”或“-”,9□8□7一定是偶数.

  同理可以推出:

  因为9□8□7是偶数,6也是偶数,所以9□8□7□6一定是偶数.

  因为9□8□7□6是偶数,5是奇数,所以9□8□7□6□5一定是奇数.

  因为9□8□7□6□5是奇数,4是偶数,所以9□8□7□6□5□4一定是奇数.

  因为9□8□7□6□5□4是奇数,3也是奇数,所以9□8□7□6□5□4□3是偶数.

  因为9□8□7□6□5□4□3是偶数,2也是偶数,所以9□8□7□6□5□4□3□2一定是偶数.

  因为9□8□7□6□5□4□3□2是偶数,1是奇数,所以9□8□7□6□5□4□3□2□1是奇数.

  以上推理过程告诉我们,不管题目中8个□内如何填“+”或“-”,9□8□7□6□5□4□3□2□1总是一个奇数,而10是个偶数.根据前面的性质3,不管8个□如何填“+”、“-”,9□8□7□6□5□4□3□2□1≠10.

  这题也可以这样想,根据同一级运算的“搬家性质”,当8个□内的“+”、“-”一经填好后,一定有9□8□7□6□5□4□3□2□1=(9□7□5□3□1)□(8□6□4□2).

  第一个括号内的9、7、5、3、1都是奇数,故不管第一个括号内的4个□内如何填“+”、“-”,9□7□5□3□1一定是个奇数.第二个括号内的8、6、4、2都是偶数,所以不管第二个括号内3个□内如何填“+”、“-”,8□6□4□2一定是偶数.这一来,不管两个括号中间那个□内如何填“+”、“-”,最后结果是奇数,而10是偶数,根据前面的性质3,不管题中8个□内如何填“+”、“-”,9□8□7□6□5□4□3□2□1≠10.

3 有一串数,最前面的四个数依次是1、9、8、7,从第五个数起,每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问在这一串数中,会依次出现1、9、8、8这四个数吗?

分析与解先按题目中的要求,在1、9、8、7这4个数字的后面写出一些数来,便可得出下列的数串:

  1,9,8,7,5,9,9,0,3,1,3,7,4,…

  这串数单从数字看乱七八糟,又因为按要求可以无限写下去,所以不能采用直接写的方法来解这题.可是如果把这串数按奇、偶数来分类,可得下面数串:

  奇,奇,偶,奇,奇,奇,奇,偶,奇,奇,奇,奇,偶,…

  (奇、偶分别代表奇数与偶数)

  我们来分析这串数有什么规律.根据奇数加奇数和是偶数,奇数加偶数和是奇数,可以推出第五、六、七个数全是奇数,第八个数是偶数.再利用第五、六、七、八这四个数的奇偶性,又可推出第九、十、十一、十二个数又全是奇数,第十三个数又是偶数,…….这一来,便发现这串数从第四个数开始,以后各数按四个奇数一个偶数的规律循环排列着,而1、9、8、8是两个奇数接两个偶数,所以数串中不会出现1、9、8、8这四个数.

4 能不能在(形如图1的)6×6正方形棋盘格中的各个小方格内,分别写上1至36这36个数(每个数必须用一次),使得棋盘中任何一个如图2中所给四种形状图形中所放的四个数的和都是偶数?如果能办到,请给出一种具体的方法;如果办不到,请说明理由.

分析与解将1~36这36个自然数随意填在6×6正方形棋盘格的36个小方格内,填法太多,要想用试验法找到满足要求的填法,比较麻烦,下面我们倒着来想这个问题.如果能找到一种填法,使题中的要求得到满足,那么在图1中,一定有一个图3的十字形图形,当它的五个小方格中的数分别用a1、a2、a3、a4、a5表示时,可得到下面的四个等式:



   a1+a2+a3+a4=偶数 (1)

   a1+a2+a3+a5=偶数 (2)

   a1+a3+a4+a5=偶数 (3)

   a2+a3+a4+a5=偶数 (4)

  将(1)、(2)两式相减,等号前面是a4、a5的差,等号后面是两偶数相减,这说明a4与a5的差是偶数,所以a4与a5要么同是奇数,要么同是偶数.

  同样,(1)、(3)两式相减,可以得出a2与a5同是奇数或同是偶数.



  (1)、(4)两式相减,可以得出a1与a5同是奇数或同是偶数.

  这一来,a1、a2、a4、a5同是奇数或同是偶数.再看(1)式,当a1、a2、a4同是奇数时,为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数,a3也应是奇数.当a1、a2、a4、a5同是偶数时,为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数,a3也是偶数.这就说明a1、a2、a3、a4、a5这五个数要么同是奇数,要么同是偶数.



  另外图3那样的十字形图形,除了不能出现在(图1的)6×6棋盘格的四个角外,其他地方都可以出现.这一来,图1除掉四个角之外的32个小方格中的数要么都是奇数,要么都是偶数.但1至36这36个自然数中最多只有18个数同是奇数,或同是偶数,不可能有32个数同是奇数或同是偶数,这说明满足要求的填法不存在.

  上面例4告诉我们,解决这类问题除了用奇数与偶数的性质外,还用了一种倒着想的方法.就是先假定某一说法正确,然后利用这一说法和其他性质进行分析,最后得到一个不可能正确的结论来,从而说明假定的某一说法不对.这种想法在数学上叫“反证法”,以后在中学数学的学习中你会再次遇到.


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