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练习十解答


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :51:39  阅读( 17 )| 评论( 0 )

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练习十解答

  1.8和64

  因为用分解质因数方法求两个数的最大公约数时,这两个数所有公共的质因数的连乘积,就是它们的最大公约数,这里最大公约数是8,8=23.所以所求两数甲、乙应同时包含3个2.又因为甲、乙两数的最小公倍数是64,64=26,去掉甲、乙共有的3个2,还剩3个2,这3个2中的任何一个2不能同时包含在甲、乙两数中,否则它们的最大公约数就不是8,而比8大.故这3个2只能包含在甲、乙两数中的某一个中.分配方案如下:

  甲:23,1;

  乙:1,23.

  对应以上各种情况,甲、乙的值分别为8、64或64、8.故此两数为8和64.

  2.1

  由于在数列15,30,45,…,165中,任一个数都是15的倍数,现在要在这些数中找11的倍数,所以凡是11的倍数都应是11、15的公倍数.而公倍数又是最小公倍数的倍数,在数列15,30,45.…,165中,最大一个11的倍数是165.根据ab=(a,b)[a,b],数列中11的倍数的个数为:



  所以只有一个数是11的倍数.

  3.180和252,36和396

  设所求的这两个数分别为a、b,则有a+b=132,(a,b)=36.

  因为(a,b)=36,所以a=36q1,b=36q2,q1、q2互质.

  又因为a+b=432,所以q1+q2=12.

  因为12=1+11=5+7,所以

  当q1、q2分别为1和11时,a、b分别为36和396;

  当q1、q2分别为5和7时,a、b分别为180和252.

  4.12和14

  设所求两数为a、b,则有a-b=2,(a+b)+[a,b]=86.

  因为a=(a,b)q1,b=(a,b)q2,q1、q2互质,所以ab=(a,b)(a,b)q1q2.

  又因为ab=(a,b)[a,b],所以(a,b)2q1·q2=(a,b)[a,b],即[a,b]=(a,b)q1q2.

  又因为(a,b)+[a,b]=86,所以(a,b)+(a,b)q1q2=86,即(a,b)(1+q1q2)=86.

  又因为a-b=2,所以(a,b)(q1-q2)=2.

  另外从(a,b)(1+q1q2)=86和(a,b)(q1-q2)=2中可以知道,(a,b)既是86的约数,也是2的约数,即(a,b)是86与2的公约数,这个公约数只可能是1或2.

  当(a,b)=1时,从(a,b)(1+q1q2)=86中知:1+q1q2=86,从(a,b)(q1-q2)=2中知:q1-q2=2.现有两式q1q2=85,q1-q2=2.因为q1、q2互质,85=1×85=5×17,而1与85,5与17的差都不等于2,所以此时无解.

  当(a,b)=2时,从(a,b)(1+q1q2)=86中知:1+q1q2=43,从(a,b)(q1-q2)=2中知:q1-q2=1.现有两式q1q2=42,q1-q2=1.因为q1、q2互质,42=1×42=2×21=3×14=6×7,这里6与7不但互质,且7-6=1,所以q1=7,q2=6.此时a=2×7=14,b=2×6=12.

  故所求两数为14和12.

  5.12和15

  设所求的两数为a、b,则有a-b=3,(a,b)[a,b]=180.

  因为a=(a,b)q1,b=(a,b)q2,q1、q2互质,所以ab=(a,b)2q1q2.

  又因为(a,b)[a,b]=ab,所以(a,b)2q1q2=180.

  因为a-b=3,即(a,b)(q1-q2)=3,所以(a,b)是3的约数,(a,b)=1或3.

  当(a,b)=1时,q1-q2=3,此时没有满足条件的解.

  当(a,b)=3时,q1-q2=1,而180=32×4×5,5-4=1,此时q1=5,q2=4,所以a=3×5=15,b=3×4=12.

  所求两数为15和12.


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