练习十解答

11月
12	2019

练习十解答

作者：蓝忠诚发表时间-8 :51:39 阅读( 17 )| 评论( 0 )

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　　1.8和64

　　因为用分解质因数方法求两个数的最大公约数时，这两个数所有公共的质因数的连乘积，就是它们的最大公约数，这里最大公约数是8，8=23.所以所求两数甲、乙应同时包含3个2.又因为甲、乙两数的最小公倍数是64，64=26，去掉甲、乙共有的3个2，还剩3个2，这3个2中的任何一个2不能同时包含在甲、乙两数中，否则它们的最大公约数就不是8，而比8大.故这3个2只能包含在甲、乙两数中的某一个中.分配方案如下：

　　甲：23，1；

　　乙：1，23.

　　对应以上各种情况，甲、乙的值分别为8、64或64、8.故此两数为8和64.

　　2.1

　　由于在数列15，30，45，…，165中，任一个数都是15的倍数，现在要在这些数中找11的倍数，所以凡是11的倍数都应是11、15的公倍数.而公倍数又是最小公倍数的倍数，在数列15，30，45.…，165中，最大一个11的倍数是165.根据ab=（a，b）[a，b]，数列中11的倍数的个数为：

　　所以只有一个数是11的倍数.

　　3.180和252，36和396

　　设所求的这两个数分别为a、b，则有a+b=132，（a，b）=36.

　　因为（a，b）=36，所以a=36q₁，b=36q₂，q₁、q₂互质.

　　又因为a+b=432，所以q₁+q₂=12.

　　因为12=1+11=5+7，所以

　　当q₁、q₂分别为1和11时，a、b分别为36和396；

　　当q₁、q₂分别为5和7时，a、b分别为180和252.

　　4.12和14

　　设所求两数为a、b，则有a-b=2，（a+b）+[a，b]=86.

　　因为a=（a，b）q₁，b=（a，b）q₂，q₁、q₂互质，所以ab=（a，b）（a，b）q₁q₂.

　　又因为ab=（a，b）[a，b]，所以（a，b）2q₁·q₂=（a，b）[a，b]，即[a，b]=（a，b）q₁q₂.

　　又因为（a，b）+[a，b]=86，所以（a，b）+（a，b）q₁q₂=86，即（a，b）（1+q₁q₂）=86.

　　又因为a-b=2，所以（a，b）（q₁-q₂）=2.

　　另外从（a，b）（1+q₁q₂）=86和（a，b）（q₁-q₂）=2中可以知道，（a，b）既是86的约数，也是2的约数，即（a，b）是86与2的公约数，这个公约数只可能是1或2.

　　当（a，b）=1时，从（a，b）（1+q₁q₂）=86中知：1+q₁q₂=86，从（a，b）（q₁-q₂）=2中知：q₁-q₂=2.现有两式q₁q₂=85，q₁-q₂=2.因为q₁、q₂互质，85=1×85=5×17，而1与85，5与17的差都不等于2，所以此时无解.

　　当（a，b）=2时，从（a，b）（1+q₁q₂）=86中知：1+q₁q₂=43，从（a，b）（q₁-q₂）=2中知：q₁-q₂=1.现有两式q₁q₂=42，q₁-q₂=1.因为q₁、q₂互质，42=1×42=2×21=3×14=6×7，这里6与7不但互质，且7-6=1，所以q₁=7，q₂=6.此时a=2×7=14，b=2×6=12.

　　故所求两数为14和12.

　　5.12和15

　　设所求的两数为a、b，则有a-b=3，（a，b）[a，b]=180.

　　因为a=（a，b）q₁，b=（a，b）q₂，q₁、q₂互质，所以ab=（a，b）2q₁q₂.

　　又因为（a，b）[a，b]=ab，所以（a，b）2q₁q₂=180.

　　因为a-b=3，即（a，b）（q₁-q₂）=3，所以（a，b）是3的约数，（a，b）=1或3.

　　当（a，b）=1时，q₁-q₂=3，此时没有满足条件的解.

　　当（a，b）=3时，q₁-q₂=1，而180=32×4×5，5-4=1，此时q₁=5，q₂=4，所以a=3×5=15，b=3×4=12.

　　所求两数为15和12.

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