十一、与计算有关的推理问题

11月
14	2019

十一、与计算有关的推理问题

作者：蓝忠诚发表时间-10 :20:41 阅读( 41 )| 评论( 0 )

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十一、与计算有关的推理问题

　　在推理问题中，还有一类与计算有关.解决这类问题通常要涉及到整数的性质、拆分，以及筛选与枚举等知识和方法.

例1 A、B、C、D、E五位运动员参加乒乓球循环赛.每盘比赛规定胜者得2分，负者得0分，已知比赛结果如下：

　　（1）A与B并列第一名；

　　（2）C是第三名；

　　（3）D与E并列第四名.

　　求C的得分.

分析与解 由于每一位选手参加每一场比赛，不是得0分，就是得2分，因此每位选手的总分一定是偶数.

　　又由于共有5位选手参赛，所以每位选手赛4场，最高得分不会超过8分，因此C的得分只可能是0，2，4，6，8.

　　由条件（1）知，A与B两人都不会全胜，这说明A与B的最高得分只能是6分.

　　由条件（3）知，D与E两人不会全败，所以D与E的最低得分是2分.

　　C的得分应介于2与6之间，且为偶数，所以C得4分.

例2 在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士各打了4发子弹，全都打中了靶子，其命中情况如下：

　　（1）每人四发子弹所命中的环数各不相同；

　　（2）每人四发子弹命中的总环数均为17环；

　　（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中的环数与丙其中两发一样；

　　（4）甲与丙只有一发环数相同；

　　（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环.

　　问甲与丙命中的相同环数是几环？

分析与解 根据（1）、（2）、（5）三个条件，可以列举出四个加数互不相同，且最大加数不超过7，总和为17的所有情况：

　　1+3+6+7=17

　　1+4+5+7=17

　　2+3+5+7=17

　　2+4+5+6=17

　　再根据（3）、（4）两个条件不难看出，每人四发子弹的环数分别为：

　　甲：1，3，6，7

　　乙：2，3，5，7

　　丙：2，4，5，6

　　从上面分析可以看出，甲与丙的相同环数为6.

例3 某个家庭有四名家庭成员，他们的年龄各不相同，他们的年龄总和是129岁，而其中有三个人的年龄是平方数，若倒退15年，这四人中仍有三人的年龄是平方数，你知道他们各自的年龄吗？

分析与解 根据题意，四人中应有三人的年龄是15到129之间的平方数，所以应对15到129之间的平方数进行筛选.

　　设四人的年龄分别为a²，b²，c²，d（a、b、c、d都是自然数），有

　　a²+b²+c²+d=129

　　且 a²＞15，b²＞15，c²＞15，d≥15.

　　因此，对于a²、b²、c²来说，有如下可能性：

　　16，25，36，49，64，81，100，121.

　　因为15年前仍有3人的年龄是平方数，所以在a²、b²、c²中至少有两个减去15后仍然是平方数，在上述8个平方数中，不难发现只有16-15=1和64-15=49符合条件，故a²=16，b²=64.

　　此时C²+d=129-（16+64）=49，将49分解成两个都大于15，且其中之一为平方数的自然数，只有C²=25，d=24，这时d在15年前是9岁，恰好是平方数，符合条件.

　　由此可知，四人的年龄分别为16岁、24岁、25岁和64岁.

　　在例2和例3的解题过程中，我们实际上用到了枚举与筛选的思想方法.枚举与筛选就是将问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，然后对各种情况一一枚举逐个检验，淘汰非解，最终达到解决整个问题的目的.枚举与筛选是数学中一种重要的解题方法.

例4 某次考试中，试题共有六道，均为是非题.考生认为正确的就填“+”，认为错误的就填“-”.记分的方法是：每题答对的得2分，不答的得1分，答错的得0分.已知：赵、钱、孙、李、周、吴、郑七人的答案及前六人的得分记录如下表所示，请计算姓郑的得分.

分析与解 从题设中看出，已知6个人的成绩中，每人都有答对、答错的题目.由于不答得1分，答错得0分，答对得2分，而且每人都有1题没答，因此最多应得11分，最少应得1分，根据6人的得分，可知周答对4题、答错1题，吴和赵分别答对3题、答错2题，钱、孙、李分别答对2题、答错3题.由于周只答错1题，因此我们从周入手，进行讨论：

　　（1）假设周第一题错，则第二、三、四、六题对，但此时赵无法得到7分，矛盾.

　　（2）假设周第二题错，则第一、三、四、六题对，但此时赵也无法得到7分，矛盾.

　　（3）假设周第三题错，则第一、二、四、六题对，但此时吴无法得到7分，矛盾.

　　（4）假设周第四题错，则第一、二、三、六题对，此时第5题若填“+”，则赵、吴都可得到7分，钱、孙、李可得5分，由此推出郑得8分.若第5题填“-”，则没有符合条件的解.

　　（5）假设周第六题错，则第一、二、三、四题对，但此时吴无法得到7分，矛盾.

　　综上所述，只有（4）满足条件，郑得8分.

例5 一次国际象棋比赛，有十名选手参加，每名选手都要和其他所有的选手比赛一次，选手们所得的分数全不一样.已知：

　　（1）第一名选手和第二名选手一次都没有输；

　　（2）前二名的总分比第三名选手多10分；

　　（3）第四名选手与最后四名选手所得分的总和相等.

　　请问：从第一名到第六名选手，每人各得多少分？（获胜得1分，平局得0.5分，否则不得分）

分析与解 因为每个选手都要和其他选手比赛，所以第一名最多得9分，由条件（1）知，第一名与第二名的比赛是平局，因此第一名最多只能得8.5分，而第二名最多得8分.此时，由条件（2）知，第三名得8.5+8-10=6.5（分）.

　　现在分析最后四名选手的分数和.因为这四名选手之间有6场比赛，每场比赛都产生1分，所以这6场比赛后得的分数之和为6.因此最后四名选手的总分至少是6分.由条件（3）知，第四名选手至少得6分.

　　因为第三名至多得6.5分，所以第四名只能得6分.而前三名的得分也随之确定，分别为8.5分、8分、6.5分.

　　因为十名选手之间进行的比赛共为：

　　9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（场）

　　所以总分为45分.因此第五、六名的分数和为：

　　45-（8.5+8+6.5+6+6）=10（分）

　　此时，只能第五名得5.5分，第六名得4.5分.

　　因此，前六名选手的得分分别为：8.5分，8分，6.5分，6分，5.5分，4.5分.

　　通过上面几个例题可以看出，解答逻辑推理问题无一定的格式，解题方法也多种多样.这就需要同学们积极开动脑筋，深刻理解题意，周密思考，善于发现比较隐蔽的条件，同时推理过程要条理清楚，结构严谨.经常思考一些这样的问题，你会变得越来越聪明.

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