十二、双人对弈

11月
15	2019

十二、双人对弈

作者：蓝忠诚发表时间-10 :6:1 阅读( 32 )| 评论( 0 )

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十二、双人对弈

　　在对抗性的游戏中，人人都想取胜，如果你能利用数学中的原理和方法，正确、合理地选择“作战”策略，那么你就能在一些“双人对弈”的游戏中，立于不败之地，做一名“常胜将军”.

例1 两人轮流报数，但报出的数只能是1至8的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？

分析与解 这个问题可以倒着想，要想使总和达到80，应该最后给对方留下多少个数呢？由于每个人报的数最大是8，最小是1，因此对方最后一次报完数后，总和最大是79，最小是72，所以最后一次应该给对方留下9个数，也就是说要先达到80，就必须先达到71.如何抢到71这个数呢？采用同样的分析方法可知，应先达到62，依此类推，可以得到每次报数应占领的“制高点”是：80，71，62，53，44，35，26，17，8.因此获胜的策略是：

　　（1）先报8；

　　（2）每次对方报a（1≤a≤8），你就报9-a.这样，每次你都能占领一个“制高点”，以确保获胜.

　　当然，如果对方一定要先报数，那么你可以利用对方不懂得这个秘诀的条件，去占领下一个“制高点”，从而确保获胜.

　　这个游戏还可以以其他的形式出现，比如：

　　（1）1998个空格排成一排，第一格中放有一枚棋子，现有两人做游戏，轮流移动棋子，每人每次可前移1格、2格、3格或4格.谁先移到最后一格，谁为胜者.问怎样的移法才能确保获胜？

　　（2）桌面上放着54张扑克牌，两人轮流从中取走1张、2张或3张，取了最后一张者输.问应怎样取，才能确保获胜？

　　想一想：该如何制定“作战”策略呢？

例2 桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分成3×7个小方块，如下图.现有两人轮流切巧克力，规则是：

　　（1）每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；

　　（2）拿走其中一块，把另一块留给对方再切；

　　（3）谁能留给对方恰好一个小方块，谁就获胜.问如何取胜？

分析与解 采用倒推法，从最后的结局看，要想获胜，有两种情况：

　　（1）你面对的是2×1个小方格，你只须沿直线切掉1个小方块，就可获胜；

　　（2）你面对的是3×1个小方格，你只须沿直线切掉2个小方块，也可获胜.

　　那么如何才能迫使对方给你留下上述两种格局呢？

　　我们将上面的两种巧克力分别扩大一列，得到2×2和3×2个小方块.

　　如果你面对2×2个小方块，无论你怎样切，都会给对方留下2×1个小方块而失败.

　　如果你面对3×2个小方块，只须沿着短边切掉2个小方块，你就会留下2×2个小方格给对方而获胜.

　　因此为了得到3×2个小方块，你必须给对方留下3×3个小方块，使得对方无论怎样切，只能留下①3×1个小方块；②3×2个小方块.而这两种情况对于你来讲，都有办法获胜.

　　因此，必胜的策略是：

　　（1）先切掉3×4个小方块，给对方留下一个3×3的“井字格”；

　　（2）如果对方切掉3×2个小方块，留3×1个小方块给你，那么你只须再切掉2×1个小方块而获胜；

　　（3）如果对方切掉3×1个小方块，留3×2个小方块给你，那么你同样再切掉2×1个小方块，给对方一个2×2的“田字格”.这时无论对方怎样切，你都是稳操胜券了.

　　通过对例2的讨论，我们可以将其推广到一般形式（规则同上）：

　　（1）如果有m×n（m＜n，m、n都是自然数）个小方块，那么先切者获胜.切法如下：

　　①第一刀给对方留下m×m个小方格；

　　②每次无论对方怎样切，都要保证给对方留下k×k（k＜m，k是自然数）个小方格，直到最后胜利.

　　（2）如果有m×m（m是自然数）个小方格，那么后切者获胜.切法同（1）中的第②个步骤.

例3 有两堆火柴，两人轮流从其中任意一堆中取出1根或几根，每次至少要取出1根，而且不能同时从两堆里取，谁最后把火柴取完，谁就获胜，问如何能确保获胜？

分析与解 先考虑最简单的特殊情况：

　　（1）如果两堆火柴都只有1根，当然后取者必胜；

　　（2）如果两堆火柴是一堆1根，一堆2根，即（1，2），这时可以看出先取者必胜.因为先取者从2根一堆的火柴中取走1根，给对方留下（1，1），成为第（1）种情况即可取胜；

　　（3）如果两堆火柴是（2，2），若先取者从一堆中取走1根，给对方留下（1，2），成为第（2）种情况必败；若先取者从一堆中取走2根，给对方留下（0，2），也必败.

　　从上面的讨论中，可以发现两点：第一，如果两堆火柴的根数相等，先取者必败，因为这时不管先取者从一堆中取走几根火柴，后取者都可以相应地在另一堆中也取走相同根数的火柴，总保持给先取者留下相同根数的两堆火柴，以至最后留下（1，1）而获胜.第二，如果两堆火柴的根数不等，则先取者在多的一堆中，取走两堆相差的火柴根数，给对方留下根数相等的两堆火柴，以确保获胜.

　　因此，必胜的策略是：

　　（1）若两堆火柴的根数相等，则采取下列措施：

　　①让对方先取；

　　②每次对方在一堆中取走几根火柴，你就在另一堆中也取走几根火柴.

　　这样，最后的一根火柴一定是你取走.

　　（2）若两堆火柴的根数不等，则采取下列措施：

　　①先从多的一堆中取走两堆相差的火柴根数，给对方留下数量相等的两堆火柴；

　　②按照（1）的方法取胜.

　　这里用到的数学原理是数学对称.由于两堆火柴数相同的形式是一种对称形式，而两堆火柴数不同的形式是一种不对称形式，因此你每次取火柴后，两堆火柴都呈现对称形式，而对方每次取火柴后，两堆火柴都是不对称形式.故最后的对称形式（两堆火柴数均为零）必由你取得.

　　实际上，例2的解答也利用了对称原理.你要想获胜，就始终保持每次给对方留下m×m（m是自然数）的对称形式，而对方只能给你留下m×n（m＞n，m、n是自然数）的不对称形式，以至最后的对称形式（0×0）是你留下的.

例4 有三堆火柴，根数分别为1根、2根、3根，两人轮流从中取火柴，每人每次取几根不限，但只能从一堆中取，拿完最后1根者为胜.问如何取胜？

分析与解 借助例3的结论来解决.

　　先取者第一次取火柴时，有下面三种可能：

　　（1）将某一堆中的火柴全部取走，留下两堆根数不等的火柴，那么后取者获胜.

　　（2）在根数为2的一堆中取走1根，这时后取者可将根数为3的一堆火柴全部取走，留下（1，1，0），后取者必胜.

　　（3）在根数为3的一堆中取走1根或2根，这时后取者都可适当地全部取走另两堆中的某一堆火柴，留下（0，2，2）或（1，0，1），后取者必胜.

　　综上所述，后取者必胜.方法如（1）、（2）、（3）.

　　通过上面的几个例题我们看到，利用“倒着想”去寻找获胜策略是许多斗智游戏中常用的方法.

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